Matematica discreta Esempi

$f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ come un'equazione.

$y = - x^{2} + 2 x + 3$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - y^{2} + 2 y + 3$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $- y^{2} + 2 y + 3 = x$ .

$- y^{2} + 2 y + 3 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} + 2 y + 3 - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 2$ e $c = 3 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (3 - x))}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Somma $4$ e $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.7

Scomponi $4$ da $16 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.7.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (4) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.8

Riscrivi $4 (4 - x)$ come $2^{2} (2^{2} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $4$ e $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $4$ da $16 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (4) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $4 (4 - x)$ come $2^{2} (2^{2} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot (3 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 3 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Somma $4$ e $12$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{16 - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $4$ da $16 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) - 4 x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4) + 4 (- x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.7.3

Scomponi $4$ da $4 (4) + 4 (- x)$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $4 (4 - x)$ come $2^{2} (2^{2} - x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.8.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (4 - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.8.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (2^{2} - x)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2^{2} - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{4 - x}}{- 2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{4 - x}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

$y = 1 + \sqrt{4 - x}$

$y = 1 - \sqrt{4 - x}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ è l'inverso di $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ e $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 4]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $1 + \sqrt{4 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{4 - x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$4 - x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 4$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 4$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x \leq 4$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 4]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ è l'intervallo di $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ è il dominio di $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ , allora $f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$ è l'inverso di $f (x) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{4 - x}, 1 - \sqrt{4 - x}$

Passaggio 6